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준파라콤팩트 공간

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목차

1. 개요

준파라콤팩트 공간은 위상수학에서 정의되는 위상 공간의 한 종류이다. 위상 공간 X의 집합족 S에 대해, σ-이산, σ-국소 유한, 또는 σ-폐포 보존 닫힌 세분(subdivision)을 갖는 열린 덮개를 가지면 X를 준파라콤팩트 공간이라고 한다. 정칙 공간에서 파라콤팩트 공간은 준파라콤팩트 공간이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 또한, 가산 콤팩트 준파라콤팩트 공간은 콤팩트 공간이며, 완전 정규 메타콤팩트 공간은 준파라콤팩트 공간이다. 닫힌 연속 함수나 완전 사상에 의해 준파라콤팩트 공간의 성질이 보존되며, 가산 개의 준파라콤팩트 닫힌 집합들의 합집합 역시 준파라콤팩트 공간이다.

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준파라콤팩트 공간
준파라콤팩트 공간
정의모든 열린 덮개가 점유한 열린 세분화가 있는 위상 공간
속성모든 파라콤팩트 공간은 준파라콤팩트이다.
모든 축소 가능한 공간은 준파라콤팩트이다.
관련 개념파라콤팩트 공간
메타콤팩트 공간
올소콤팩트 공간

2. 정의

위상 공간 X의 집합족 \mathcal S\subseteq\mathcal P(X)에 대하여, 이산 집합족, 국소 유한 집합족, 폐포 보존 집합족, σ-국소 유한 집합족, σ-이산 집합족, σ-폐포 보존 집합족을 정의할 수 있다.

위상 공간 X가 다음 조건들을 만족시키면 '''준파라콤팩트 공간'''이라고 한다.


  • X의 임의의 열린 덮개는 σ-이산 닫힌 세분을 갖는다.
  • X의 임의의 열린 덮개는 σ-국소 유한 닫힌 세분을 갖는다.
  • X의 임의의 열린 덮개는 σ-폐포 보존 닫힌 세분을 갖는다.


이 조건들은 서로 동치이다.

2. 1. 집합족 관련 용어

위상 공간 X의 집합족 \mathcal S\subseteq\mathcal P(X)에 대하여, 다음 조건들을 정의할 수 있다.

  • 임의의 x\in X에 대하여, |\{S\in\mathcal S\colon U_x\cap S\ne\varnothing\}|\le1인 근방 U_x\ni x가 존재한다면, \mathcal S를 '''이산 집합족'''(discrete family of sets영어)이라고 한다.
  • 임의의 x\in X에 대하여, \{S\in\mathcal S\colon U_x\cap S\ne\varnothing\}이 유한 집합인 근방 U_x\ni x가 존재한다면, \mathcal S를 '''국소 유한 집합족'''(locally finite family of sets영어)이라고 한다.
  • 임의의 \mathcal S'\subseteq\mathcal S에 대하여 \textstyle\bigcup_{S'\in\mathcal S'}\operatorname{cl}S'이 닫힌집합이라면, \mathcal S를 '''폐포 보존 집합족'''(closure-preserving family of sets영어)이라고 한다.


모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이다. 모든 국소 유한 집합족은 폐포 보존 집합족이다.

만약 \mathcal S가 가산 개의 국소 유한 집합족들의 합집합이라면, \mathcal S를 '''σ-국소 유한 집합족'''(sigma-locally finite family영어)이라고 한다. 이 경우, 설령 \mathcal S가 덮개이더라도 합집합을 취하는 국소 유한 집합족들이 덮개일 필요는 없다. 마찬가지로, '''σ-이산 집합족'''(sigma-discrete family영어)과 '''σ-폐포 보존 집합족'''(sigma-closure-preserving finite family영어)을 정의할 수 있다.

2. 2. 준파라콤팩트 공간

위상 공간 X에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 X를 '''준파라콤팩트 공간'''이라고 한다.

  • X의 임의의 열린 덮개는 σ-이산 닫힌 세분을 갖는다.
  • X의 임의의 열린 덮개는 σ-국소 유한 닫힌 세분을 갖는다.
  • X의 임의의 열린 덮개는 σ-폐포 보존 닫힌 세분을 갖는다.

3. 성질

정칙 공간의 경우, 준파라콤팩트 공간은 파라콤팩트 공간, 집합족적 정규 공간, 가산 콤팩트 공간, 완전 정규 메타콤팩트 공간 등과 특별한 관계를 갖는다. 이러한 관계는 닫힌 연속 함수와 완전 사상에서도 나타난다.[1]

3. 1. 다른 위상 공간과의 관계

정칙 공간에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.

  • 파라콤팩트 공간이다.
  • 모든 열린 덮개는 σ-이산 열린 세분을 갖는다.
  • 모든 열린 덮개는 σ-국소 유한 열린 세분을 갖는다.[1]
  • 모든 열린 덮개는 σ-폐포 보존 열린 세분을 갖는다.
  • 모든 열린 덮개는 폐포 보존 열린 세분을 갖는다.
  • 모든 열린 덮개는 국소 유한 세분을 갖는다.[1] (이 조건에서 세분은 열린 세분일 필요가 없다.)
  • 모든 열린 덮개는 폐포 보존 세분을 갖는다.
  • 모든 열린 덮개는 국소 유한 닫힌 세분을 갖는다.[1]


정칙 하우스도르프 공간의 경우, 다음 조건이 추가로 동치이다.

  • 모든 열린 덮개는 폐포 보존 닫힌 세분을 갖는다.[1]


이에 따라, 모든 파라콤팩트 정칙 공간은 준파라콤팩트 공간이다. 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다 (Bing’s example H|빙의 예시 H영어). 모든 집합족적 정규 준파라콤팩트 공간은 파라콤팩트 공간이다. 그 밖에, 다음 함의 관계들이 성립한다.

  • 가산 콤팩트 준파라콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
  • 완전 정규 메타콤팩트 공간은 준파라콤팩트 공간이다.


닫힌 연속 함수 f\colon X\to Y에 대하여, 만약 X가 준파라콤팩트 공간이라면 f(X) 역시 준파라콤팩트 공간이다. 완전 사상 f\colon X\to Y에 대하여, 만약 X가 정칙 공간이며 Y가 준파라콤팩트 공간이라면 X 역시 준파라콤팩트 공간이다. 만약 위상 공간 X가 가산 개의 준파라콤팩트 닫힌집합들의 합집합이라면 X 역시 준파라콤팩트 공간이다.

3. 2. 함수와의 관계

닫힌 연속 함수 f\colon X\to Y에 대하여, X가 준파라콤팩트 공간이라면 f(X) 역시 준파라콤팩트 공간이다. 완전 사상(perfect map) f\colon X\to Y에 대하여, X가 정칙 공간이며 Y가 준파라콤팩트 공간이라면 X 역시 준파라콤팩트 공간이다. 만약 위상 공간 X가 가산 개의 준파라콤팩트 닫힌집합들의 합집합이라면 X 역시 준파라콤팩트 공간이다.


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